Cohomology of p-adic local systems on the coverings of Drinfeld's half-plane

Cohomologie de systèmes locaux p-adiques sur les revêtements du demi-plan de Drinfeld

Arnaud Vanhaecke (1)

1 IMJ-PRG (UMR_7586) - Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche

This thesis is devoted to further developing the program of geometrization of the local p-adic Langlands correspondence, which was initiated by Colmez, Dospinescu and Niziol in their 2020 paper. They have shown that 2-dimensional Galois representations that are supercuspidal (implicitly de Rham) and with Hodge-Tate weights 0 and 1, appear in the p-adic étale cohomology of the coverings of Drinfeld's half-plane and that their multiplicity is given by the p-adic Langlands correspondence. The main result of this thesis is the generalization of this result in arbitrary weights, by considering the p-adic étale cohomology with coefficients in the symmetric powers of the universal local system on Drinfeld's tower. A striking novelty is the appearance of special representations in the cohomology of the tower with coefficients, with expected multiplicity. The key point is that the local systems which we consider turn out to be particularly simple: they are isotrivial opers.The first part of this thesis is devoted to the study of local isotrivial p-adic systems and to the calculation, in the case of isotrivial opers on curves, of a diagram linking the proetale cohomology of the local system to the Hyodo-Kato cohomology and the de Rham cohomology of the curve.The second part of this thesis is the application of these results to the case of the Drinfeld's tower, allowing the computation of the mentioned multiplicities.

Cette thèse est consacrée à la poursuite du programme de géométrisation de la correspondance de Langlands locale p-adique initié par Colmez, Dospinescu et Niziol dans leur article de 2020, sur le modèle de la correspondance classique. Ils démontrent que les représentations galoisiennes de dimension 2 qui sont supercuspidales (sous-entendue de de Rham) et à poids de Hodge-Tate 0 et 1 apparaissent dans la cohomologie étale p-adique de la tour de revêtement du demi-plan de Drinfeld et que leur multiplicité est donnée par la correspondance de Langlands p-adique. Le résultat principal de cette thèse est l'analogue de ce résultat en poids quelconques, en considérant la cohomologie étale p-adique à coefficients dans les puissances symétriques du système local universel sur la tour de Drinfeld. Une différence frappante est que l'on voit aussi apparaitre les représentations spéciales dans la cohomologie de la tour à coefficients, avec les multiplicités attendues. Le point clé est que les systèmes locaux que l'on considère s'avèrent être particulièrement simples : se sont des opers isotriviaux.Ainsi, la première partie de cette thèse est consacrée à l'étude des systèmes locaux p-adiques isotriviaux et au calcul dans le cas des opers isotriviaux sur les courbes d'un diagramme reliant la cohomologie proétale du système local à la cohomologie de Hyodo-Kato et la cohomologie de de Rham de la courbe. La seconde partie de cette thèse est alors l'application de ces résultats au cas de la tour de Drinfeld qui permettent le calcul des multiplicités évoquées.

Mots clés: P-adic; Drinfeld; Langlands; Local systems; Cohomology

Mots clés: P-adique; Drinfeld; Langlands; Systèmes locaux; Cohomologie

Domaines: Géométrie algébrique [math.AG]; Théorie des nombres [math.NT]

Arnaud Vanhaecke. Cohomologie de systèmes locaux p-adiques sur les revêtements du demi-plan de Drinfeld. Géométrie algébrique [math.AG]. Sorbonne Université, 2023. Français. ⟨NNT : 2023SORUS463⟩. ⟨tel-04523656⟩