Hybrid modal - finite elements modeling for ultrasonic testing of an elastic plate. Treatment of oscillating integrals of the HSM method
Modélisation hybride modale-éléments finis pour le contrôle ultrasonore d'une plaque élastique. Traitement des intégrales oscillantes de la méthode HSM
Résumé
This thesis focuses on the Half-Space Matching (HSM) method for solving scattering problems in an unbounded elastic plate to simulate non-destructive testing of composite plates. The HSM method is a hybrid approach that couples a finite element calculation in a box containing the defects with semi-analytical representations in four half-plates covering the plate's healthy part. Semi-analytical half-plate representations involve Green tensors, expressed with Fourier integrals and modal series. However, these expressions can be challenging to evaluate in practice (cost and accuracy), making the HSM method unusable industrially. The difficulties are first analyzed in a two-dimensional scalar (acoustic) case. Two methods are proposed for an efficient evaluation of Fourier integrals : the first one uses a far-field type approximation, and the second one is based on a deformation of the integration path in the complex plane (complexification method). These two methods are validated in the isotropic and anisotropic scalar cases, where we have the exact values of the Fourier integrals expressed using Hankel functions. They are then generalized to the three-dimensional case of the elastic plate. In this case, the representation formula is obtained by performing a Fourier transform in a direction parallel to the plate, and then, for each value of the Fourier variable ξ, a modal decomposition in the thickness. The modes involved called ξ-modes, are studied in detail and compared to classical modes (Lamb and SH in the isotropic case). In order to exploit the bi-orthogonality of the ξ modes, the half-plate formula requires the knowledge of both the displacement and the normal stress on the boundary. In the isotropic case, the analytic properties of the ξ-modes make it possible to justify and extend the complexification method, including in the presence of inverse modes. This reduces the spurious effects of modal coupling induced by the discretization of Fourier integrals. The complexification method is then used to calculate the operators involved in the HSM method, which derive from the half-plate formula. Different validations of the HSM method are thus carried out in the isotropic case. Encouraging preliminary results are also obtained for an orthotropic plate. The improvements significantly reduce the calculation time and ensure higher accuracy of the HSM method, making it possible to consider its systematic exploitation in an industrial simulation framework.
Cette thèse porte sur la méthode Half-Space Matching (HSM) pour la résolution de problèmes de diffraction dans une plaque élastique non-bornée, en vue de la simulation du contrôle non-destructif de plaques composites. La méthode HSM est une approche hybride qui couple un calcul éléments finis dans une boite contenant les défauts, avec des représentations semi-analytiques dans quatre demi-plaques qui recouvrent la partie saine de la plaque. Les représentations semi-analytiques de demi-plaques font intervenir des tenseurs de Green, exprimés à l'aide d'intégrales de Fourier et de séries modales. Or ces expressions peuvent être délicates à évaluer en pratique (coût et précision), rendant la méthode HSM inexploitable industriellement. Les difficultés sont d'abord analysées dans un cas scalaire bidimensionnel (acoustique). Deux méthodes sont proposées pour une évaluation efficace des intégrales de Fourier : la première exploite une approximation de type champ lointain et la seconde repose sur une déformation du chemin d'intégration dans le plan complexe (méthode de la complexification). Ces deux méthodes sont validées dans les cas scalaires isotrope et anisotrope où l'on dispose des valeurs exactes des intégrales de Fourier exprimées à l'aide de fonctions de Hankel. Elles sont ensuite généralisées au cas tridimensionnel de la plaque élastique. Dans ce cas, la formule de représentation est obtenue en faisant une transformée de Fourier suivant une direction parallèle à la plaque, puis, pour chaque valeur de la variable de Fourier ξ, une décomposition modale dans l'épaisseur. Les modes mis en jeu, appelés ξ-modes, sont étudiés en détail et comparés aux modes classiques (Lamb et SH dans le cas isotrope). Afin d'exploiter la bi-orthogonalité des ξ-modes, la formule de demi-plaque requiert la connaissance à la fois du déplacement et de la contrainte normale sur la frontière. Dans le cas isotrope, les propriétés d'analyticité des ξ-modes permettent de justifier et d'étendre la méthode de la complexification, y compris en présence de modes inverses. Ceci réduit les effets de couplage modal parasite induits par la discrétisation des intégrales de Fourier. La méthode de la complexification est ensuite utilisée pour le calcul des opérateurs intervenant dans la méthode HSM, qui dérivent tous de la formule de demiplaque. Différentes validations de la méthode HSM sont ainsi effectuées dans le cas isotrope. Des résultats préliminaires encourageants sont également obtenus pour une plaque orthotrope. Les améliorations réalisées ont permis à la fois de réduire significativement le temps de calcul et d'assurer une plus grande précision de la méthode HSM, permettant d'envisager son exploitation systématique dans un cadre de simulation industrielle.
Mots clés
Non-destructive testing
Guided waves
Elastodynamics
Finite elements
Oscillatory integrals
Half-Space Matching
unbounded elastic plate
simulation
composite plate
defect
semi-analytical representation
Green tensors
structural health monitoring
Fourier integral evaluation
far-field type approximation
integration path deformation
Origine : Version validée par le jury (STAR)