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Habilitation À Diriger Des Recherches Year : 2002

Numerical Approximation of conservative or nonconservative non-linear hyperbolic systems

Approximation numérique de Systèmes Hyperboliques Non-linéaires Conservatifs ou Non-conservatifs

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Abstract

Les travaux présentés dans ce document s'inscrivent dans le cadre de la simulation numérique d'écoulements compressibles et couplés ou non avec des champs magnétiques. Les difficultés rencontrées proviennent d'une part part de la prise en compte de phénomènes physiques complexes (Magnétohydrodynamique, Equations de Saint-Venant, Euler avec gravité,...) nécessitant des méthodes numériques innovantes et d'autre part du contexte d'utilisation industriel de plus en plus exigeant en terme de précision et robustesse. Pour ces raisons, les outils de simulation numérique doivent être fondées le plus possible sur des techniques numériques basées sur une approche rigoureuse garantissant leur robustesse et leur fiabilité. Le cadre mathématique commun à tous les modèles étudiés ici est celui des systèmes hyperboliques non-linéaires, avec ou sans terme source et éventuellement non-conservatifs. L’objectif de ce travail est donc de présenter un cadre numérique théorique général permettant de traiter cette classe de modèles. Les travaux abordés dans ce document se déclinent en trois parties selon le type de système traité. La première partie concerne la résolution numérique de systèmes hyperboliques homogènes. Une classe de solveurs de Riemann (solveurs simples) est caractérisée dans ce cadre-là et des solveurs entropiques et positifs sont développés pour les cas particuliers de la Dynamique des gaz et de la MHD. La deuxième partie concerne les systèmes hyperboliques non-linéaires avec terme source. On caractérise pour ceux-ci la classe des solveurs simples. Le problème crucial des solutions numériques d'équilibre est abordé aussi. Des solveurs équilibre entropiques sont développés pour la Dynamique des gaz avec gravité ainsi que pour le système de Saint Venant . Enfin, dans la dernière partie on aborde la résolution numérique des systèmes non-conservatifs. On définit pour ceux-ci la classe des solveurs simples et on fournit plusieurs solveurs entropiques pour l'exemple du système de Powell pour la MHD. Dans chacune des trois parties, un premier fil conducteur est suivi, à savoir construire de la façon la plus simple possible un solveur de Riemann. Cette idée donne lieu à la notion de solveur simple. D'autre part, les applications visées sont toutes des applications physiques, au sens où les systèmes hyperboliques associés dérivent tous de la mécanique des fluides et possèdent donc des propriétés structurelles remarquables. En particulier, ces systèmes possèdent à la fois une version dans un système de coordonnées eulériennes et une version dans un système de coordonnées lagrangiennes. Le deuxième fil conducteur est alors la transposition du cadre continu au cadre discret de la dualité entre formulation lagrangienne et formulation eulérienne. En pratique, une correspondance biunivoque entre les solveurs pour la forme eulérienne et les solveurs pour la forme lagrangienne est établie.
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Dates and versions

tel-01320526 , version 1 (24-05-2016)

Identifiers

  • HAL Id : tel-01320526 , version 1

Cite

Gerard Gallice. Approximation numérique de Systèmes Hyperboliques Non-linéaires Conservatifs ou Non-conservatifs. Mathématiques [math]. Université de Bordeaux I, 2002. ⟨tel-01320526⟩

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