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Habilitation à diriger des recherches

Entanglement and Shannon entropies in low-dimensional quantum systems

Résumé : La première partie de ce mémoire traite de l'intrication quantique (entropie de Von Neumann) dans certains systèmes bidimensionnels. Il s'agit de fonctions d'onde de type Rokhsar-Kivelson (RK), construites à partir des poids de Boltzmann d'un modèle classique (modèle de dimères, de vertex ou de spins d'Ising par exemple). Nous montrons comment le spectre des matrices densité réduites de ces états s'obtient à partir des probabilités du modèle classique sous-jacent. Cette observation permet de calculer numériquement l'entropie d'intrication dans de grands systèmes, et en particulier de tester la présence de constantes sous-dominantes universelles dans le cas d'un liquide (de dimères) topologique de type Z_2 (construction de Kitaev-Preskill & Levin-Wen) et dans le cas d'une fonction d'onde critique (dimères sur réseaux bipartites). Si le système est un cylindre infiniment long et que le sous-système considéré est un demi-cylindre infini, le spectre de la matrice densité réduite peut se calculer plus simplement encore, par matrice de transfert. L'entropie d'intrication entre les deux moitiés du système apparaît alors comme l'entropie de Shannon associée aux probabilités des différentes configurations des degrés de liberté qui se trouvent à la frontière (un cercle). Ceci nous conduit à considérer l'entropie de Shannon (et ses généralisations de type Rényi) d'une fonction d'onde à N corps en tant que telle – indépendamment de son lien éventuel avec l'intrication quantique d'un état RK en dimension supérieure. Nous étudions les contributions universelles de cette entropie dans trois cas: 1) les liquides de Tomonaga-Luttinger, cadre dans lequel nous établissons un lien entre l'entropie de Shannon-Rényi et des problèmes de théories conformes avec bords, et calculons exactement les termes universels de l'entropie en fonction du paramètre de Luttinger et de l'indice de Rényi; 2) la chaîne d'Ising critique en champ transverse, pour laquelle nos simulations numériques montrent la présence d'une transition de phase à n=1 (indice de Rényi), qui reste mal comprise théoriquement, et pour laquelle une approche par méthode des répliques semble inadaptée; et enfin 3) des systèmes bidimensionnels avec symétrie continue spontanément brisée, où nous expliquons par un argument de champ libre (et de tour d'états) la présence de termes en log(L) dans l'entropie, comme récemment observé par simulations Monte-Carlo quantique.
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https://hal-cea.archives-ouvertes.fr/tel-01244859
Contributor : Grégoire Misguich <>
Submitted on : Wednesday, December 16, 2015 - 12:54:04 PM
Last modification on : Monday, February 10, 2020 - 6:13:40 PM
Long-term archiving on: : Thursday, March 17, 2016 - 2:11:27 PM

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Identifiers

  • HAL Id : tel-01244859, version 1

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Grégoire Misguich. Entanglement and Shannon entropies in low-dimensional quantum systems. Condensed Matter [cond-mat]. Université Pierre et Marie Curie (Paris 6), 2014. ⟨tel-01244859⟩

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