La méthode FIC-EBC : une méthode de domaine fictif avec sauts immergés et raffinement de maillage multi-niveaux

Isabelle Ramière 1
1 LSC - Laboratoire de Simulation du Comportement des Combustibles
SESC - Service d'Etudes de Simulation du Comportement du combustibles : DEN/DEC/SESC
Résumé : Depuis plusieurs années, de nouvelles recherches sur l’utilisation de méthodes numériques basées sur des maillages structurés réguliers (principalement cartésiens) sont en cours, notamment dans le milieu industriel pour la simulation numérique en mécanique des fluides. L’objectif est de pouvoir bénéficier des nombreux avantages de ces méthodes (solveurs rapides, bonnes propriétés de convergence, formulation tensorielle naturelle...) tout en essayant d’en limiter les inconvénients (difficulté de prendre en compte les frontières complexes des domaines physiques) qui font que jusqu’à présent la majorité des logiciels industriels utilisent des maillages non structurés. L’idée de base des méthodes dites « méthodes de domaine fictif » et introduites pour la première fois par V.K. Saul’ev en 1963 dans [30] (repris en anglais par Marchuk en 1982 dans [20]) est de découpler la géométrie du domaine physique d’étude de celle du domaine de calcul. Le domaine physique est alors immergé dans un domaine plus grand et de forme plus simple (généralement rectangulaire en 2D), appelé domaine fictif qui deviendra le domaine de calcul (cf. figure 1). Cette approche présente l’intérêt majeur de pouvoir mailler de façon structurée cartésienne (souvent uniforme) le domaine de calcul et ainsi bénéficier des avantages cités précédemment de ce type de maillages. Cependant, afin de recouvrer une solution approchée satisfaisante sur le domaine physique, c’est-à-dire une solution approchée proche de la solution obtenue dans le cas de maillages adaptés, il faut pouvoir tenir compte de façon précise des frontières immergées dans le domaine calcul. Dans la littérature, les différentes modélisations de frontières immergées peuvent se regrouper en deux grands types d’approches. Ces approches se distinguent par la dimension de l’espace dans lequel est approchée l’interface immergée réelle : • soit l’interface approchée est de même dimension que l’interface immergée réelle (i.e. une courbe en 2D ou une surface en 3D), on parlera alors d’interface approchée fine. Dans cette catégorie se trouvent les méthodes de pénalisation [20, 15, 16], les méthodes d’in- terfaces immergées ou « Immersed Interface Method » (I.I.M.) [18, 19], les méthodes de do- maine fictif avec multiplicateurs de Lagrange de frontière ou distribués [9, 8], les méthodes de frontières immergées avec grille cartésienne ou « Cartesian grid embedded boundary me- thod » (C.G.E.B.M.) [13, 32]. • soit l’interface approchée est élargie par rapport à l’interface immergée réelle (i.e. une surface en 2D ou un volume en 3D), on parlera alors d’interface approchée diffuse. La première approche de type interface diffuse dans le cadre de domaine fictif remonte à Rukho- vets [29]. Cependant la méthode la plus connue dans cette catégorie est certainement la méthode de frontière immergée ou « Immersed Boundary Method » (I.B.M.) [22, 23] de laquelle découle les méthodes I.I.M. citées précédemment. Plus récemment, la méthode de la frontière élargie ou « Fat Boundary Method » (F.B.M.) a été développée [21, 4] ainsi qu’une méthode de domaine fictif avec interface diffuse [27]. La majorité de ces méthodes est dédiée au traitement de conditions aux limites immergées de type Dirichlet, voir par exemple [30, 20, 22, 9, 18, 13, 8, 12, 16] et les nombreuses références citées dedans et dans [25]. Cependant, peu d’études traitent d’autres types de conditions aux limites immergées telles que des conditions de Neumann, voir notamment [14, 7, 32, 5] ou plus particulièrement des conditions de Robin (ou Fourier) [29, 24, 27, 28]. Pour plus de références, le lecteur est invité à lire [25]. L’originalité de la méthode « FIC-EBC » de domaine fictif présentée ici et publiée dans [28] pour des problèmes elliptiques consiste à utiliser le maillage cartésien du domaine fictif, généralement non adapté à la géométrie du domaine physique, pour définir une frontière immergée approchée sur laquelle seront appliquées les conditions aux limites immergées. Une approche de type interface fine a été choisie et la frontière immergée réelle est approchée par une interface s’appuyant sur les faces de cellules du maillage. Les conditions aux limites immergées sont prises en compte par des termes surfaciques via des conditions de transmissions algébriques combinant les sauts de flux et de solution introduites dans [1]. Un paramètre correctif de surface est également introduit dans le cas de conditions aux limites de Robin ou Neumann non-homogène. Un nouveau schéma numérique de type volumes finis avec inconnues aux centres des mailles est dérivé pour résoudre le système d’équations avec conditions de transmissions immergées. Ce schéma numérique générique, n’introduisant aucune inconnue supplémentaire près de la frontière immergée, permet alors de traiter toutes les conditions aux limites générales : Dirichlet, Robin ou Neumann ainsi que des conditions aux limites mixtes, i.e. la frontière immergée est l’union de différentes parties, chacune d’entre elles portant une condition aux limites différente. Ainsi, contrairement aux approches classiques de domaine fictif, cette méthode ne nécessite ni l’intro- duction d’inconnues surfaciques supplémentaires près de la frontière (cf. multiplicateurs de Lagrange, I.B.M. ou F.B.M. par exemple) ni la modification locale du schéma numérique (cf. I.I.M. ou C.G.E.B.M. par exemple). La structure de la matrice du système linéaire permet l’utilisation de solveurs rapides et le cas de frontières mobiles et/ou déformables serait géré sans difficulté supplémentaire de maillage. Cette approche de domaine fictif permet d’approcher le domaine physique originel à O(h) près, où h est le pas du maillage. La convergence de cette méthode en fonction du pas du maillage est ainsi du premier ordre en norme L 2 ou L ∞ . L’analyse théorique de convergence a été menée dans [26]. Cette méthode est alors combinée avec un algorithme de raffinement de maillage multi-niveaux autour de la frontière immergée afin d’améliorer la précision de la solution obtenue. Un nouvel algorithme de type FIC pour « Flux Interface Correction » (cf. [3]) avec patchs locaux emboîtés a été spécialement développé pour tenir compte de sauts de flux et de solution. Diverses applications numériques sur des exemples académiques confirment l’amélioration de la précision obtenue : la méthode converge ainsi à l’ordre un en fonction du pas de maillage de la grille locale la plus fine jusqu’à ce que l’erreur due à la partie non raffinée du maillage initial soit atteinte. Parmi les nombreuses applications possibles de cette méthode de domaine fictif, la résolution du bilan d’énergie sur une maquette d’un échangeur de chaleur (de forme cylindrique), représentatif d’un géné- rateur de vapeur dans les centrales nucléaires, est présentée ici. Les solutions obtenues sont comparées à celles obtenues sur des maillages non structurés adaptés à la géométrie du domaine physique. La qualité des résultats des simulations permet de montrer la validité et l’intérêt de ce travail.
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Contributor : Isabelle Ramiere <>
Submitted on : Friday, November 25, 2016 - 4:47:42 PM
Last modification on : Monday, February 25, 2019 - 1:56:02 PM
Long-term archiving on : Tuesday, March 21, 2017 - 10:28:08 AM

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Isabelle Ramière. La méthode FIC-EBC : une méthode de domaine fictif avec sauts immergés et raffinement de maillage multi-niveaux. MATAPLI, 89, pp.1-28, 2009. ⟨cea-01403307⟩

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