Hypercyclic vectors and algebras
Vecteurs et algèbres hypercycliques
Résumé
This work contributes to the theory of hypercyclicity and related concepts. We are main focused on algebras of hypercyclic vectors for operators acting on Fréchet sequence algebras, although some contributions were made concerning the existence of single vectors. We have improved a Baire criterion for the existence of hypercyclic algebras which now grants algebras of hypercyclic vectors that are not finitely generated. Variations of this main criterion apply to some related concepts such as upper frequent, disjoint and common hypercyclicity. We provide criteria for the existence of algebras of vectors satisfying these properties (except for the 0 vector) for weighted backward shifts on classical sequence spaces equipped either with the Cauchy product or with the coordinatewise product. In particular for common hypercyclicity, we provide criteria for the existence of common hypercyclic vectors and algebras when the parameter set is not one-dimensional. We also explore the problem of closed hypercyclic algebras and provide counterproofs even for classical operators and spaces.
Ce travail contribue à la théorie de l'hypercyclicité et à des concepts liés. Nous nous sommes principalement intéressés à des algèbres de vecteurs hypercycliques pour opérateurs agissant sur une algèbre de Fréchet de suites, bien que quelques contributions portent sur l'existence d'un seul vecteur. Nous avons amélioré un critère de Baire pour l'existence d'une algèbre hypercyclique, ce qui permet maintenant de considérer des algèbres de vecteurs hypercycliques qui ne sont pas finiment générées. Des variantes de ce critère s'appliquent à d'autres concepts relatifs comme l'hypercyclicité supérieurement fréquente, disjointe et simultanée. Nous fournissons de nouveaux critères d'existence d'algèbres de vecteurs satisfaisant ces propriétés (sauf le vecteur 0) pour les opérateurs de décalage à gauche pondérés agissant sur des espaces de suites classiques munis soit du produit de convolution, soit du produit coordonnée par coordonnée. En particulier pour l'hypercyclicité simultanée, nous fournissons des critères d'existence de vecteurs et d'algèbres hypercycliques communs dans le cas où l'ensemble de paramètres n'est pas unidimensionnel. Nous explorons aussi le problème d'existence des algèbres hypercycliques fermées dont nous avons montré l'inexistence même pour des opérateurs et des espaces classiques.
Este trabalho é uma contribuição à teoria de hiperciclicidade e conceitos relacionados. Nos nos interessamos principalmente em álgebras de vetores hiperciclícos para operadores agindo sobre uma álgebra de Fréchet de sequências, apesar de que algumas contribuições tratam da existência de vetores simplesmente. Nós melhoramos um critério de Baire que garante a existência de álgebras hipercíclicas, o qual agora fornece álgebras hipercíclicas que não são finitamente geradas. Variações do novo critério se aplicam à diversos conceitos relacionados à hiperciclicidade, como por exemplo à hiperciclicidade superiormente frequente, disjunta e simultânea. Nos provemos critérios de existência de álgebras de vetores satisfazendo essas propriedades (com exceção do vetor 0) para operatores de deslocamento à esquerda (ou ``shift para trás'') agindo sobre espaços de sequência clássicos equipados ou com o produto de convolução, ou com o produto coordenada por coordenada. Em particular para o conceito de hiperciclicidade simultânea, nós fornecemos critérios de existência de vetores e álgebras hiperciclicas mesmo no caso em que o conjunto de parâmetros não é unidimensional. Nos ainda exploramos o problema de existência de uma álgebra hipercíclica fechada e encontramos respostas negativas mesmo para operadores e espaços clássicos.
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Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)